Лекция 4. Математические методы анализа

Основные математические идеи в экономике.

По-настоящему глубоких математических идей, используемых в

экономической теории, очень немного, всего две-три. В самой

первой лекции говорилось, что экономическая

наука занимается количественной стороной

отношений между людьми и количественными

сопоставлениями (больше-меньше или лучше-

хуже). Этому соответствует математическая идея

оптимизации, т.е. поиска максимума или

минимума. В то же время экономическая наука -

общественная,

она

представляет

собой

рассуждение об отношениях между людьми и о

том, что в результате их взаимодействия некая

«невидимая рука» ведет систему к совместному

результату.

Взаимодействие

Леонид Витальевич

Канторович, 1943

выражается через модели рынка и игры,

а результат описывается в понятиях

равновесия и неподвижной точки.

Использование элементов обычного

математического

анализа

в

экономической теории началось в XIX

веке, а законченную форму получило в

1940 годы в работах Хикса и

Самуэльсона. В это же время в

экономическую

теорию

стали

проникать

новые

математические

методы, и это связано с работами

Леонида Витальевича Канторовича и

Джона фон Неймана. Вот как об этом

говорит англоязычная Википедия:

Джон фон Нейман с женой

Кларой и собакой Inverse

В своей книге фон Нейман провозгласил, что экономическая

теория должна использовать методы функционального

анализа, в особенности выпуклые множества и топологические

теоремы о неподвижной точке, а не традиционное

дифференциальное

исчисление,

поскольку

оператор

максимизации не сохраняет дифференцируемые функции.

Независимо, использование Леонидом Канторовичем методов

функционального анализа для работы по математической

экономии также привлекало внимание к теории оптимизации,

недифференцируемости и векторным решеткам. Технические

приемы фон Неймана, заимствованные из функционального

анализа – использование двойственных пар векторных

пространств

для

представления

цен

и

количеств,

использование опорных и разделяющих гиперплоскостей и

выпуклых множеств, и теория неподвижных точек – стали с

тех пор навсегда главными инструментами математической

экономики¹.

Дальше я расскажу обо всем этом более простыми словами.

Канторович (вместе с Купмансом) получил Нобелевскую премию в

1975 году. Наверняка получил бы ее и фон Нейман, один из самых

выдающихся

людей

К

Лекция 4. Содержание

своего

времени.

Основные математические идеи в экономике

Равновесие и неподвижные точки

Математическая оптимизация

 Предельный анализ

 Оптимизация и двойственные оценки

 Выпуклые множества и функции

Теория игр

сожалению, он очень

рано умер, несмотря на

всю

свою

Он

жизнерадостность.

любил общество друзей,

разговоры и анекдоты,

 Фон Нейман: изобретение теории игр

 Нэш: равновесие в некооперативных

играх

громкую

музыку,

хорошо сшитую одежду

и вкусную еду (шутили,

что он может сосчитать

все, кроме калорий). Не

менее полной была и его

 Динамические игры

 Харшаньи:

игры

с

неполной

информацией

 Шеллинг и Зельтен: реалистичность

угроз и под-игры

 Ауманн: повторяющиеся игры

 Смешанные стратегии

 Ллойд Шэпли

научная

вклад

исключительно

жизнь.

в

Его

науку

велик,

 Дизайн механизмов

это и многочисленные

разделы математики и

Рекомендуемая литература

физики,

и

проектирование первых

компьютеров, и важная роль в Манхэттенском проекте по созданию

ядерного оружия.

В дальнейшем развитие математической теории оптимизации и

теории равновесия происходило достаточно последовательно, но

¹https://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann#Mathematical_economics

соответствующие Нобелевские премии следует отнести уже к

области микроэкономики, а не математических методов. Что же

касается развития теории игр, то можно сказать, что ее траектория

изменилась, когда в самом конце 1940 годов молодой математик

Джон Нэш предложил рассматривать не антагонистические игры (с

нулевой суммой), а другую модель – некооперативные игры. Он

изменил также и понимание результата игры. Это изобретение

оказалось

исключительно

Нобелевские премии и лауреаты -

математические методы анализа:

удачным, и именно по этой

линии в основном пошло

развитие теории игр и ее

применений в экономике. Это

направление

Нобелевские премии 1994 –

1975 Канторович, Купманс

1994 Нэш, Харшаньи, Зельтен

2005 Шеллинг, Ауманн

2007 Гурвич, Мэскин, Майерсон

2012 (Рот), Шепли

отражают

2007

годов.

К

этому

направлению не принадлежал

только Шепли, еще один классик теории игр. Его математический

подход (как и у применившего его на практике Рота) не относился ни

к антагонистическим, ни к некооперативным играм.

Соответствующий список лауреатов показан на врезке.

Равновесие и неподвижные точки

Что такое неподвижные точки? Предположим,

что

есть

какая-то

функция

f(x).

Неподвижными называются такие точки х*,

для которых x*=f(x*). Например, на рисунке

имеется три таких точки. Здесь пунктиром

показана линия y=x, и график функции ее три

раза пересекает. Это и есть неподвижные

точки.

Рисунок 1 Неподвижные

точки

Здесь и х и f(x) – это числа. На самом деле

функция - это не обязательно число, функция – это соответствие, т.е.

некоторое правило, которое один предмет переводит в другой:

предмету x ставится в соответствие предмет f(x). Например, мы

можем сказать, что функция будут заключаться в том, что от любой

точки x на земле мы будем отсчитывать на север 100 шагов, и эта

новая точка будет называться f(x).

В частности давайте представим себе чашку, нарисованную здесь

условно, и в ней шарик. На левом рисунке шарик – назовем его х, а то

положение, куда он докатится, прежде чем начнет возвращаться, мы

назовем f(x). Понятно, что для любого такого x будет свой шарик f(x)

и он не будет совпадать с x. Однако есть один шарик – изображенный

на правом рисунке, - который никуда не покатится, и если мы его

отпустим, то он останется на своем месте. Это и есть неподвижная

точка, и она же является точкой минимума и точкой равновесия. Я

думаю, что этот пример интуитивно показывает связь между этими

тремя понятиями.

Рисунок 2 Неподвижные точки, экстремумы и равновесие

В XX веке были доказаны математические теоремы о том, что

неподвижные точки существуют при некоторых достаточно простых

и естественных условиях. Эти результаты связаны с именами

голландского математика Лѐйтзена Брауэра и японца Сицзуо

Какутани. В теории игр и в экономической теории с их помощью

были получены основные результаты о равновесии.

Математическая оптимизация

Предельный анализ

Если мы занимаемся сравнениями (больше-меньше, лучше-хуже), то

естественно возникает вопрос о «самом лучшем» (оптимальном) и

«самом худшем» варианте. В количественных терминах – это

максимум или минимум какой-то функции (ее экстремум). Известно,

что если эта функция гладкая, то в точках минимума и максимума ее

производная будет равна нулю. То же самое можно сказать по-

другому: если наша целевая функция представляет собой разность

между некоторой функцией результата и функцией затрат, то в точке

оптимума предельный результат должен быть равен предельным

издержкам.

Первым к мысли использовать дифференциальное исчисление в

экономическом анализе пришел Огюстен Курно,

однако он (всего на два года младше Пушкина!)

опередил свое время почти на два поколения. Затем

в 1870 годы маржиналистский (т.е. в переводе -

предельный) подход был одновременно переоткрыт

сразу тремя экономистами – Менгером, Джевонсом

и Вальрасом².

Модель дуополии Курно³. Как пример рассмотрим

Огюстен Курно

здесь следующую задачу о разделе рынка.

Предположим, что две одинаковые фирмы производят одну и ту же

продукцию в объемах соответственно q₁и q₂, при себестоимости c₁и

c₂. Пусть спрос на продукцию определяется тем, что рыночная цена

равна

p = 1 – q₁– q₂

Спрашивается, какие объемы производства будут для фирм

предпочтительны?

Будем рассуждать следующим образом. Функции прибыли фирм

равны

u_i= (p-c_i) q_i

i=1, 2

Или же, что то же самое,

2

u₁= (1 – q₁– q₂– c₁) q₁= (1 – q₂– c₁) q₁– q₁

2

u₂= (1 – q₁– q₂– c₂) q₂= (1 – q₁– c₂) q₂– q₂

Каждая фирма хочет максимизировать свою прибыль за счет выбора

оптимального значения своего выпуска q*₁или q*₂. Это значит, что

производные функций u₁и u₂по переменным, соответственно, q₁и q₂

в точках q*₁и q*₂должны быть равны нулю:

(1 – q*₂– c₁) – 2q*₁= 0

(1 – q*₁– c₂) – 2q*₂= 0

2

Курно был школьным товарищем отца Леона Вальраса, и они вместе

уговорили Леона заняться экономической теорией.

3

Этот и следующие примеры в этой лекции заимствованы из книги (Захаров

2015)

Откуда получается, что

q*₁= (1 + c₁– 2c₂)/3

q*₂= (1 + c₂– 2c₁)/3

Оптимизация и двойственные оценки

К середине XX века

возник и другой подход к проблеме

оптимизации. Первой была работа, выполненная в Ленинграде

Канторовичем и опубликованная в виде небольшой книги

«Математические

методы

организации

и

планирования

производства» (1939). В 1938 году, консультируя фанерный трест по

проблеме эффективного использования лущильных станков,

Канторович понял, что дело сводится к задаче максимизации

линейной формы многих переменных при наличии большого числа

ограничений в форме линейных равенств и неравенств⁴. Он понял

также, что аналогичные задачи должны во множестве возникать в

разнообразных ситуациях. Действительно, различные задачи

линейного программирования были поставлены и решались в США во

время войны, и в 1975 году Канторович и Тьяллинг Купманс

получили за это Нобелевскую премию.

Задача линейного программирования выглядит следующим образом.

Пусть даны числа (коэффициенты) a, b, c (с индексами). Нам

требуется найти значения x (с индексами), для которых линейная

функция

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n

принимает максимальное значение при условии, что

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n≤ b₁

…………………………...

(1)

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≤ b_m

(В первоначальной задаче Канторовича переменные x₁, …, x_n

означали количество различных заготовок, которые нужно было

вырезать из листов фанеры, также имевших неодинаковую форму.

⁴Ru.wikipedia.org

Числа a_ijозначали, сколько заготовок формы i можно вырезать из

листа формы j, а числа b_j– сколько имеется листов формы j.

Коэффициенты c_iможно считать ценами различных заготовок).

Это действительно очень простая математическая задача, однако для

того, чтобы понять ее свойства и придумать методы решения,

математика должна была достичь определенной стадии развития. В

частности, должно было стать привычным понятие множества в

многомерном линейном пространстве. В этом случае задачу (1)

можно очень наглядно переформулировать в геометрических

терминах. Покажем это на примере. Пусть:

x₁+x₂→ max

x₁+2x₂≤ 2

2x₁+x₂≤ 2

x₁, x₂≥ 0

(2)

Каждое неравенство задает здесь половину плоскости, а вместе они

«вырезают» на плоскости пятиугольник. В то же время если задавать

какие-то числа α, то уравнения x₁+x₂= α будет определять различные

прямые, которые будут все параллельны между собой. Наша задача

(2) будет поэтому означать, что мы ищем такое максимальное число

α*, что прямая x₁+x₂= α* все еще пересекает наш пятиугольник (на

рисунке видно, что такой прямой будет x₁+x₂= 4/3 и, соответственно,

решением задачи будет x₁=x₂= 2/3).

Рисунок 3 Задача линейного программирования

Вспомним некоторые понятия из линейной алгебры. Если a=(a₁, a₂,

…, a_n) и x=(x₁, x₂, …, x_n) некоторые векторы (говоря иначе - точки в

векторном пространстве) и α - число, то по определению:

αa=(αa₁, αa₂, …, αa_n) – произведение вектора на число

a+x=(a₁+x₁, a₂+x₂, …, a_n+x_n) – сумма векторов

ax=a₁x₁+a₂x₂+…a_nx_n– их скалярное произведение.

Задачу (1) мы тогда можем переписать, как

cx → max

a_ix≤b_i, i=1, …, m

В нашем примере

с=(1,1)

a₁=(1,2), a₂=(2,1), a₃=(-1,0), a₄=(0,-1)

b₁=2, b₂=2, b₃=0, b₄=0

Обратим внимание, что в точке x*=(2/3, 2/3), которая является

решением нашей задачи (2), первые два неравенства выполняются

как точные равенства (в этом случае говорят, что они активны).

Обратим также внимание на то, что вектор с расположен внутри угла,

образованного «активными» векторами a₁и a_2.Это значит, что с есть

сумма активных векторов a₁и a₂, взятых с некоторыми

положительными коэффициентами.

Оказывается, это последнее обстоятельство очень важно с точки

зрения экономической теории, поскольку оно проясняет роль цен.

Сделаем следующее: каждой задаче (1) поставим в соответствие так

называемую двойственную задачу:

Прямая

результата

задача:

максимум

Двойственная задача: минимум

расходов

4 x₁+ 3 x₂≤ 2

5 x₁+ 4 x₂≤ 3

4 y₁+ 5 y₂≥ 6

3 y₁+ 4 y₂≥ 7

6 x₁+ 7 x₂→ max

2 y₁+ 3 y₂→ min

Геометрически двойственная задача означает, что мы ищем такие

множители y_j, которые позволят представить вектор c в виде

(взвешенной) суммы векторов a_i. Найдя такие множители, мы

сможем узнать, какие из ограничений в системе неравенств будут

выполняться как равенства, и найдем решение задачи. Иначе говоря,

решение прямой и двойственной задачи эквивалентно.

С точки же зрения экономического поведения, эквивалентность

прямой и двойственной задачи линейного программирования можно

пояснить так. Предположим, что нам нужно раскроить 2 листа

фанеры, имеющих размеры №1 и 3 листа, имеющих размеры №2. Это

нужно сделать таким образом, чтобы получить детали формы №1 и

№2 (которые стоят 6 и 7 рублей соответственно), Нам нужно, чтобы

их суммарная цена была максимальной. Мы можем заняться

расчетом планового задания непосредственно, но можем поступить и

иначе. Мы можем объявить, что проведем внутри нашего цеха тендер

на распределение фанеры. Тендер будет проводиться по условным

«теневым» ценам y_i, и фанеру получит тот, кто запросит

минимальную стоимость 2y₁+3y₂. При этом нужно, чтобы

эффективность использования фанеры, измеренная в «теневых»

ценах, была не ниже «внешних» цен на наши детали.

Купманс в своей Нобелевской лекции говорил о главных результатах

теории оптимального распределения ресурсов и, в том числе, о

вкладе Канторовича. Он отметил примерно тот же

круг перечисленных выше идей:



Канторович

сформулировал

модель

набора

производства

в

виде

конечного

производственных процессов (как в модели затраты-выпуск),

каждый

из

которых

характеризуется

постоянными

коэффициентами затрат и выпуска.



Он

вполне

понимал,

насколько

широко

может

использоваться эта модель.



Было показано, что с оптимальным решением модели

связано то, что впоследствии на Западе было названо «теневыми

ценами» и «двойственными оценками» (у Канторовича они

назывались «объективно обусловленными оценками»).



Была показана связь этой математической

задачи с теорией выпуклых множеств.

Тьяллинг

Купманс



Были предложены методы для решения

такого рода задач, хотя и только на уровне иллюстрации.



Двойственные

оценки

были

интерпретированы

как

коэффициенты, позволяющие сопоставлять ценность разных

ресурсов с точки зрения данного критерия оптимальности.



Двойственные оценки предлагалось использовать для

координации решений, принимаемых в различных организациях.

Сам Купманс получил Нобелевскую премию (по крайней мере,

формально) за более или менее аналогичную работу, связанную с

расчетами оптимальных транспортных маршрутов. Разумеется, его

другие заслуги при этом тоже учитывались⁵.

Выпуклые множества и функции

Многогранник, который мы рассматривали в предыдущем разделе,

это частный пример выпуклого множества. Это понятие⁶, как и

понятие выпуклой функции, играет важную роль в теории

оптимизации и математической экономике в целом. Смысл его

Мы уже говорили о его вкладе в развитие эконометрики, а, например, в статье

в Википедии о «теореме Купманса» из области квантовой механики чувствуется

некоторое удивление по поводу того, что он получил Нобелевскую премию не

по физике или химии, а по экономике.

6

Теория выпуклых множеств восходит к выдающемуся математику Герману

Минковскому, одному из создателей математического аппарата теории

относительности. Интересно, что Минковскому это понятие понадобилось тоже

для решения задач оптимизации, но связанных не с экономикой, а с теорией

чисел (Kjeldsen 2010).

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми

своими точками x₁и x₂оно содержит и весь соединяющий их

отрезок.

Экономическая интерпретация этого требования тоже очень простая

и во многих ситуациях выглядит достаточно естественно. А именно,

оно означает, что если, скажем, предприятие может производить два

набора продукции x₁=(x₁₁, x₁₂) и x₂=(x₂₁,x₂₂), то оно может произвести

и любую комбинацию этих наборов, т.е. любой набор продукции

αx₁+βx₂= (αx₁₁+βx₂₁, αx₁₂+ βx₂₂)

если только α + β =1, α≥0 и β≥0

Функция называется выпуклой (вогнутой), если множество, лежащее

над (соответственно, под) ее графиком

выпуклое. Опять-таки,

экономическая интерпретация здесь звучит вполне естественно.

Вогнутость функции потребления, например, отображает идею

убывающей полезности: десятое съеденное мороженое доставляет

меньше удовольствия, чем первое.

Теория игр

Простым и естественным является и понятие игры. Пусть есть какие-

то игроки, у каждого из которых есть набор возможных ходов

(которые также называют стратегиями). Кроме того, существует

некоторое правило распределения выигрышей: после того, как

каждый игрок сделал свой ход, всем им в соответствии с этим

правилом назначаются некоторые выигрыши (или проигрыши).

Самый популярный пример игры - это дилемма заключенных⁷. Она

соответствует следующей ситуации. Полиция поймала двух

нехороших людей - Петю и Васю и посадила их в тюрьму, причем в

разные камеры. Полицейские хотят, чтобы эти люди сознались в

каком-то большом преступлении, но сами могут их уличить только в

небольшом нарушении, за которое дают максимум по одному году

тюрьмы. Если один из подозреваемых сознается в большом

преступлении, а другой не сознается, то первого в награду

отпускают, а несознавшийся получает 10 лет тюрьмы. Если же

сознаются они оба, то оба получат относительно небольшой срок

(скажем, 2 года).

7

Согласно Википедии, «суть проблемы была сформулирована Мерилом

Фладом (Merrill Flood) и Мелвином Дрешером (Melvin Dresher) в 1950 году.

Название дилемме дал математик Альберт Такер (Albert W. Tucker)».

Итак, игроками здесь являются Петя и Вася, у каждого из них есть

ходы (стратегии) «сознаваться» и «не сознаваться», а функция

выигрыша может быть записана в виде матрицы, где в ячейках

записаны проигрыши, соответственно, первого и второго игрока

(такая матрица называется записью игры в нормальной форме):

Вася сознается

Вася

не

сознается

Петя cознается

Петя

2,2

не 10,0

0,10

1,1

сознается

После того, как мы сформулировали конкретную модель игры,

возникает вопрос, как мы можем ее использовать. Обычная тактика

состоит в том, чтобы среди всех возможных способов поведения

игроков (т.е. решений игры) найти некоторое специальное решение и

затем рассматривать только его. Существует довольно много разных

вариантов,

какое

именно

специальное

решение

следует

рассматривать. При этом обычно исходят из двух соображений: во-

первых, должно существовать какое-то обоснование, почему сами

игроки, описываемые в модели, будут склонны выбрать именно эти

ходы. Во-вторых, у исследователя должны быть технические

(математические)

возможности

найти

такое

решение

и

проанализировать его свойства.

Фон Нейман: изобретение теории игр

Различные игры интересовали математиков достаточно давно. В

частности, моделью игры является разобранный выше пример

дуополии Курно. Все же в современном виде теория игр появилась в

XX веке. И хотя существенными шагами были работы выдающихся

математиков Цермело и Бореля, все же точкой отсчета справедливо

считается статья фон Неймана Zur Theorie der Gesellschaftsspiele⁸

(1928).

Если игроков двое и один может выиграть ровно столько, сколько

проиграл другой, то такая игра называется антагонистической.

Именно такого рода «салонные» игры были прототипом модели фон

Неймана в его статье. Позднее он говорил, что не стал бы ее

8

Эта статья по-русски часто упоминается как «К теории стратегических игр».

На самом деле слово Gesellschaftsspiel означает «коллективная игра».

публиковать, если бы ему не удалось доказать так называемую

теорему о минимаксе. Для антагонистической игры двух участников

теорема утверждает, что у первого игрока всегда есть линия

поведения, позволяющая обеспечить некоторый гарантированный

выигрыш (максимин), а у второго – линия поведения, позволяющая

не дать сопернику выиграть больше некоторого максимума

(минимакс), и что эти два числа равны между собой.

Продолжением этой работы была книга «Теория игр и экономическое

поведение»,

написанная

вместе

с

экономистом

Оскаром

Моргенштерном:

Моргенштерн написал статью по теории игр и захотел показать

ее фон Нейману, поскольку тот интересовался этим вопросом.

Тот прочитал и сказал Моргенштерну, что кое-что добавит. Это

повторилось несколько раз, и тогда фон Нейман оказался

соавтором, а статья разрослась до 100 страниц. Потом она

превратилась в книгу. Общественный интерес к этой работе

был такой, что газета Нью-Йорк Таймс опубликовала репортаж

на первой полосе⁹.

Книга Неймана и Моргенштерна сыграла очень

большую роль в развитии теории игр. Она

оказалась «стволом, имеющим многочисленные

корни, уходящие в глубь веков и мощную крону,

в которой переплелись современные работы по

теории игр»¹⁰. Авторы пытались искать для

теории

игр

различные

приложения

и

анализировать очень трудные коалиционные

ситуации: что получается, если игроки

объединяются, скажем, двое против одного или

Нейман и Моргенштерн

трое против двоих. К сожалению, на том этапе оказалось, что такого

желания было больше, чем возможностей. Поэтому в дальнейшем

книгу «скорее почтительно цитировали, чем читали»¹¹.

Дальнейшему развитию теории игр способствовал и внешние

события, в частности ядерное противостояние между СССР и

Америкой во время холодной войны, когда приходилось отвечать на

вопросы - что будет, если одна сторона нападет или не нападет,

⁹https://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann#Mathematical_economics

10

(Воробьев 1970)

11

(Mirowski 1992)

создаст угрозу или, наоборот, обеспечит надежную защиту от угрозы.

Однако в виде игры можно моделировать не только отношения

соперничества, но и очень разные ситуации взаимодействия, и не

только экономические.

Нэш: равновесие в некооперативных играх

Поворотным моментом в распространении теории игр – особенно в

экономике - оказалась небольшая, 10-страничная, статья¹²Джона

Нэша.

Джон Нэш был выдающимся

ученым

и

единственным

лауреатом

двух

премий

–

Нобелевский по экономике и

Абелевской по математике, но

при

этом

очень

сложной

личностью. Еще при жизни на

основе его биографии была

написана

книга

и

снят

художественный

Beautiful Mind (Игры разума).

фильм

A

Джон и Алисия Нэш

Одним из обстоятельств было то,

что в конце 1950 годов у него проявились признаки душевного

заболевания. Нэш и его жена Алисия погибли вместе в

автомобильной аварии в 2015 году.

Нэш предложил рассматривать игры, в которых «каждый за себя».

Он придумал, пожалуй, самую простую идею некооперативной игры

(в которой рассматривается только индивидуальное поведение

игроков и не обсуждается возможность формирования каких-то

коалиций) и предложил самый общеупотребительный способ решать

игры. Слова равновеие по Нэшу встречаются в любой современной

книге по микроэкономике (и не только) на каждой второй странице.

Равновесие по Нэшу означает такой набор ходов (стратегий)

различных игроков, от которого каждому невыгодно отклоняться «в

индивидуальном порядке», поскольку никто не может улучшить свой

результат в одиночку. Более точная формулировка следующая:

решение игры (т.е. набор ходов, которые игроки могут сделать

одновременно) называется равновесным по Нэшу, если ни один из

12

(Nash 1951)

игроков не может выиграть в том случае, когда все остальные игроки

сохранят свой выбор, а он заменит данный свой ход на какой-то

другой.

Равновесие по Нэшу – это воплощение идеи о том, что

экономические агенты рациональны, что они одновременно

действуют так, чтобы максимизировать свою полезность. Если

и есть какая-то идея, которую можно считать движущей силой

экономической теории, то это она. Так что в некотором смысле

равновесие по Нэшу воплощает наиболее важную и

фундаментальную идею экономической науки, что люди

действуют в соответствии со своими интересами¹³.

Равновесие Нэша: примеры

Дилемма заключенных: равновесием по Нэшу будет пара ходов

(стратегий)

(Петя сознается, Вася сознается)

Действительно, если Петя не меняет своей стратегии, а Вася

отказывается сознаться, то Васе будет только хуже (и наоборот).

Дуополия Курно: легко видеть, что рассмотренная выше модель

представляет собой игру (некооперативную), а найденное решение

q*1 = (1 + c1 – 2c2)/3

q*2 = (1 + c2 – 2c1)/3

– точку равновесия по Нэшу. Действительно, если, скажем, первая

фирма установила объем выпуска на уровне q*₁, а вторая фирма

попробует выпускать не q*₂, а какое-то другое количество продукции

q₂, то она получит меньше прибыли.

Списывание. Приведем еще один пример. Предположим, что

студенческая группа из N человек сдает экзамен. Каждый студент,

сдавший экзамен, получает от родителей премию размером в α

рублей. Экзамен можно сдать посредством списывания, но если хотя

бы один человек в группе списывает, то его обязательно ловят и всю

13

(Aumann 1985)

группу штрафуют на A рублей. Спрашивается, как поведут себя

студенты?

Ясно, что если премия α большая, а штраф A маленький, то всем

выгодно списать: в этом случае каждый студент получает от

родителей больше, чем его доля в штрафе или даже чем весь штраф.

Если, наоборот, штраф очень большой, а премия маленькая, то

списывать никому не выгодно. И в том, и в другом случае задача

имеет единственную точку равновесия по Нэшу.

Интересно понять, что случится при некоторых промежуточных

значениях α и A. Оказывается, что в этом случает в задаче возникает

два равновесия - когда либо все списывают, либо, наоборот, не

списывает никто. Это легко показать на примере. Предположим, что

в группе 10 человек, премия каждому равняется 1 тысяче рублей, а

штраф составляет 10 тысяч рублей. Мы имеем:

1) если никто не списывает, то каждый студент получает

тысячу рублей (если сдал экзамен) или 0 рублей (если не сдал)

2) если все списывают, то все сдают экзамен, и каждый имеет 1

тысячу (премия) – 1 тысяча (штраф) = 0 рублей

3) если списывают, например 5 человек, то каждый получает не

больше 1 тысячи рублей и платит штраф в 2 тысячи, т.е.

оказывается «в минусе».

Ситуации 1) и 2) будут точками равновесия по Нэшу, поскольку

каждый отдельный студент, перейдя от решения «списывать» к

решению «не списывать» или наоборот, переводит всю группу в

невыгодную ситуацию 3).

Динамические игры.

Возможно, что игроки делают свои ходы не одновременно, а по

очереди. Такие игры называются динамическими, и их особенность

состоит в том, что игроки должны учитывать влияние уже сделанных

ходов на свои решения.

Модель Штакельберга. Генрих фон Штакельберг (1906-1945)

родился в Москве, а жил в Германии во времена Гитлера. Он

известен в первую очередь как автор следующей модели.

Пусть, как и в модели Курно, цена на продукцию двух фирм

определяется равенством

p = 1 – q₁– q₂

Примем для простоты, что себестоимости у обеих фирм одинаковые

и равны c_.Соответственно, функции прибыли фирм равны

u_i= (p-c) q_i

i=1, 2,

В модели Курно, при одновременном выборе, объемы выпуска

составили бы

q₁* = q₂* = (1-с)/3

Но теперь фирма №1 принимает решение об объеме выпуска первой,

а фирма №2 должна под это решение подстраиваться. Какие объемы

производства будут для фирм предпочтительны в этом случае?

Будем рассуждать следующим образом. Предположим, что первая

фирма уже определила свой оптимальный выпуск в объеме q*_{1 .}Тогда

прибыль второй фирмы равна

2

u₂= (1 – q*₁– q₂– c) q₂= (1 – q*₁– c) q₂– q₂

Вторая фирма знает, что первая уже сделала выбор, и она ищет

максимум своей прибыли при условии, что q₁* задано. Поэтому

оптимальное решение q*₂будет зависеть от q₁*. Оно получается,

когда мы дифференцируем функцию прибыли второй фирмы по q₂и

приравниваем производную нулю:

(1 – q*₁– c) – 2 q₂= 0

откуда

q₂*(q₁*) = (1 – q*₁– c)/2

(3)

Это равенство показывает, что если фирма №1 выберет какой-нибудь

объем выпуска q₁*, то фирма №2 будет выбирать свой объем выпуска

по формуле (3). Зная это, фирма №1 заранее это учтет и будет искать

среди всех q₁* такое решение q₁**, чтобы максимизировать функцию

прибыли:

u₁= (1 – q₁* – q₂(q₁*) – c) q₁* = (1 – q₁* – (1 – q*₁– c)/2 – c) q₁*

Продифференцировав по q₁* и приравняв производную нулю, мы

получим:

q₁** = (1-c)/2

Этому значению q₁по формуле (3) соответствует

q₂** = (1-с)/4

Таким образом, за счет права первого хода фирма №1 выигрывает, а

фирма №2 проигрывает.

Харшаньи: игры с неполной информацией

Довольно скоро стало очевидно, что в теории игр нужно научиться

работать с фактором неопределенности - может быть неизвестно,

какие есть ходы у разных игроков.

Если мы все же знаем

вероятности, то дело сильно облегчается. Джон Харшаньи придумал

очень естественный и простой способ, что делать в этой ситуации.

Разные варианты поведения людей он изобразил, по сути дела, как

дополнительных искусственных игроков, которые играют с какой-то

вероятностью. Соответственно, можно оценивать вероятность разных

исходов игры.

Дуополия Курно с неполной информацией. Пусть, как и прежде,

две фирмы одновременно принимают решение об объеме выпуска

одной и той же продукции. Прибыль каждой фирмы равна:

u₁= pq₁−c₁q₁

u₂= pq₂−c₂q₂,

Себестоимость c₁первой фирмы известна обеим фирмам, но, в

отличие от первоначальной задачи, себестоимость c₂известна только

самой фирме №2. Первая же фирма знает только то, что эта величина

принимает значение c_Hс вероятностью θ и c_L< c_Hс вероятностью

1−θ. Вероятность θ известна обеим фирмам.

Будем рассуждать, как при изложении модели Штакельберга. Ели бы

фирма №2 знала, чему равняется q₁* - оптимальное решение фирмы

№1, то она попадала бы в ситуацию исходной модели Курно, т.е.

имела полную информацию и могла принять и свое решение. А

именно, если ее себестоимость равна c_H, она решала бы задачу

поиска максимума функции

(1−q₁* −q₂−c_H)q_2,

а если ее себестоимость равна c_L, то фирма №2 решала бы задачу

максимизации функции

(1−q₁* −q₂−c_L)q₂

Пусть, соответственно q_2H* и q_2L* - решения этих задач. Поскольку

фирма №1 не знает, какова себестоимость для фирмы №2, но знает

вероятности, то она может найти свой оптимальный объем выпуска

q₁* как решение задачи максимизации математического ожидания

будущей прибыли, т.е. выражения

θ(1−q₁−q_2H*−c₁)q₁+ (1−θ)(1−q₁−q_2L*−c₁)q₁

Проведя вычисления, можно получить в результате, что

q_2H* = (1−2c_H+ c₁)/3 + (1−θ) (c_H−cL)/6

q_2L* = (1−2c_L+ c₁)/3 – θ (c_H−c_L)/6

q₁* = (1−2c₁+ θc_H+ (1−θ)c_L)/3

Мы получили довольно естественный результат: если фирма №1

подозревает, что у фирмы №2 издержки могут быть ниже, чем c₂=

c_H, то она планирует объем свой выпуск в меньшем объеме, чем это

было бы в первоначальной модели Курно при c₂

= c_H.

Соответственно, если она надеется, что издержки фиры №2 могут

быть выше, она планирует свой выпуск тоже выше.

Шеллинг и Зельтен: реалистичность угроз и под-игры

Математические инструменты анализа представляют ценность для

экономиста ровно в той степени, в которой они позволяют описывать

поведение людей. Концепция равновесия по Нэшу, которая, как

говорилось,

моделирует

прямолинейный

«одношаговый»

рационализм, в некоторых случаях оказывается недостаточно

реалистичной.

Рассмотрим следующий пример. Предположим, что вы идете по

парку, и к вам подходит хулиган, в руке которого граната. Хулиган

требует – дайте сто рублей, или я взорву себя и вас. Если в этой игре

искать положение равновесия по Нэшу, то оно, очевидно, состоит в

том, чтобы ему эти сто рублей отдать -

потому что, чисто

математически, для вас отдать деньги – это лучше, чем быть

взорванным, а для него получить деньги – лучше, чем не получить.

Однако ясно, что такое решение выглядит не очень реалистично.

Потому что, зададим вопрос – а что будет, если вы ему эти сто

рублей все же не дадите? Он действительно взорвет вас и себя, или

же еще три раза подумает? И даже если рассматривать эту задачу

чисто математически, но уже из положения после этого вашего хода,

то и для хулигана равновесная стратегия будет состоять в том, чтобы

гранату не взрывать. Таким образом, получается, что можно сыграть

неравновесную стратегию и за счет этого выиграть.

Томас Шеллинг - автор замечательной книги

«Стратегия конфликта» (1960), где он обсуждает

различные ситуации, имеющие аналогичную

форму, т.е. связанные с реалистичностью угроз,

силой или слабостью соперничающих сторон и

т.п. Вот еще один пример. Предположим, что

фирма посылает своих представителей на

переговоры относительно продажи ее продукции.

Как следует поступить – предоставить им

свободу принимать решения по ситуации или же

Томас Шеллинг

дать твердые инструкции, например установить минимальную

продажную цену, ниже которой они не имеют права опускаться?

Шеллинг говорит, что во втором случае «переговорная сила»

представителей фирмы может оказаться больше. Потенциальные

покупатели могут оказаться податливее, если они будут знать, что

продавцы просто не имеют возможности уступить.

В 1950 годы такого рода ситуации возникали не только в бизнесе, но

они касались прежде всего военного соперничества СССР и США.

Это очень способствовало развитию теории игр. Книга Шеллинга,

совершенно не математизированная и очень живо написанная,

включена в список рекомендованной литературы к этой лекции.

Математическую сторону этих вопросов разрабатывал Рейнхард

Зельтен, который занимался анализом под-игр (subgames).

Если дана некоторая динамическая игра, т.е. развертывающая во

времени, то под-игра – это ее любая автономная часть,

начинающаяся, когда некоторые ходы уже сделаны. Например, в

ситуации с хулиганом и гранатой под-игра – это возможное развитие

событий после того, как вы отказались дать ему деньги. В этой под-

игре - даже формально-математически – стратегия «взорвать

гранату» перестает для хулигана быть равновесием по Нэшу.

Термины, которые, ввел Зельтен, по-русски звучат несколько

неестественно (видимо потому, что его родным языком был

немецкий, для которого характерны длинные существительные).

Один из них это «совершенное равновесие по под-играм», по-

английски subgame perfect equilibrium. Это такое равновесие (в самой

первоначальной игре), которое остается равновесием и после

нескольких ходов.

Пример: захват рынка. Покажем на примере, как работает это

понятие. Пусть фирма №1 давно работает на некотором рынке и

является монополистом, фирма №2 хочет войти на этот рынок. Если

новая фирма входит на рынок, то старая может резко снизить цены. В

результате входящая фирма терпит убыток в размере -2 единицы, а

старая получает нулевую прибыль. Таким образом, при этой

стратегии фирмы №1 новичок войти не может. Если новая фирма

принимает решение не входить на рынок, то старая фирма получит

свои обычные 2 единицы прибыли. Наконец, если новая фирма все-

таки входит, а прежний монополист цены не снижает, то они делят

рынок и получают по одной единице прибыли. Соответствующая

матрица выглядит так:

Старая

сбивает цены

фирма

Старая

согласна

рынок

фирма

делить

Новая

входит на рынок

фирма

- 2, 0

0, 2

1, 1

Новая

фирма

0, 2

отказывается

от

намерения войти на

рынок

Равновесием по Нэшу здесь является пара ходов

«не входить, не снижать цены»

Однако это равновесие не будет совершенным по под-игре,

поскольку если все-таки новичок входит на рынок, то равновесием в

этой под-игре будет уже пара ходов

«войти на рынок, разделить рынок»

Второе очень полезное понятие, которое ввел Зельтен, называется

«равновесие дрожащей руки». Оно позволяет лучше понимать

достаточно похожие ситуации. Идея состоит в следующем.

Предположим, что мы разыгрываем какую-то игру (скажем, вдвоем)

и у моего партнера есть самый лучший для него ход, на который у

меня есть самый лучший ответный ход. Но дальше по каким-то

причинам мой партнер ошибся - у него дрогнула рука - и он выбрал

не самую лучшую для себя стратегию. Следует ли мне использовать

мой самый лучший ход и в этой ситуации (в задаче с хулиганом и

гранатой это явно не так)? Я должен заранее предусмотреть эту

возможность и сыграть совершенно по-другому, чем в точке

равновесия по Нэшу. Если же мой оптимальный ход все равно будет

наилучшим, то такая точка равновесия по Нэшу и называется

equilibrium of the trembling hand.

Ауманн: повторяющиеся игры

Если одну и ту же ситуацию разыгрывают много раз, то мотивы и

поведение участников могут существенно измениться. Например,

если дилемма заключенных возникает много раз и у разных людей,

то в конце концов возникает понимание того, что предавать

товарища не следует. Такую повторяющуюся игру можно

смоделировать и математически, и это позволяет анализировать

соотношение

сиюминутных

интересов

и

обстоятельств,

и

долгосрочных последствий. Это позволяет лучше понять, как в

человеческом обществе возникла мораль, номы поведения и

институты. На многочисленных примерах люди понимают, что

принимать решения и вести себя нужно с учетом долгосрочных

последствий, а не только из сиюминутных соображений. Интересно,

что чисто формально в модели будущие выигрыши дисконтируются,

т.е. стоят меньше, чем выигрыши сегодня. Положение равновесия

зависит от того, насколько важны будущие выигрыши и потери по

сравнению с сегодняшними. Если ты понимаешь, что твое неэтичное

поведение на всю жизнь испортит твою репутацию, ты можешь

пренебречь довольно существенными сегодняшними выгодами. Если

же будущее дисконтируется сильно, то можно, как в дилемме

заключенных, и предать товарища поскольку, цинично говоря,

неизвестно, пригодится ли он когда-нибудь, или нет.

Нельзя сказать, что Роберт Ауманн придумал идею повторяющихся

игр, но, вероятно, он был одним из первых, кто ими занимался, и он

больше всех развил это направление.

Смешанные стратегии

С пониманием идеи равновесия связана следующая сложность. Нэш

доказал, что равновесие в некооперативных играх всегда существует,

однако это утверждение нуждается в уточнении. Равновесие

гарантированно существует только в смешанных стратегиях (т.е.

статистически). Что это значит?

Рассмотрим игру «заяц и контролер». Пусть каждый день из Москвы

в Петушки едет электричка из 10 вагонов. «Заяц» может сесть в

любой из вагонов, и то же самое может сделать контролер. Если они

попадают в один вагон, контролер штрафует «зайца», в противном

случае выигрыш контролера равен нулю.

Таким образом, каждый из игроков имеет по 10 различных ходов

(чистых стратегий) по числу вагонов. Можно показать, что никакая

пара этих чистых стратегий не будет равновесием по Нэшу. В то же

время можно показать, если и «заяц» и контролер будут случайным

образом с одинаковой вероятностью садиться в разные вагоны, то

такая «смешанная стратегия» даст им в среднем наибольший

выигрыш, т.е. будет точкой равновесия.

Понятие смешанных стратегий до сих пор не ощущается как вполне

естественное даже математиками¹⁴. Очевидно, к этому понятию

можно отнести все то, что было сказано по поводу идеи вероятности:

оно характеризует данную игру в целом, но не относится к ее

отдельным элементам или отдельным «матчам».

Ллойд Шепли

Шепли был «самим олицетворением теории

игр»¹⁵. Если все перечисленные выше

результаты были в той или иной степени

развитием идеи равновесия по Нэшу, то

работы Шепли развивали эту дисциплину во

Ллойд Шепли

многих других направлениях. В частности, он

предложил понятие вектора Шепли (1953) –

концепцию решения для кооперативных игр, представляющую собой

оценку ожидаемого выигрыша или априорный измеритель «силы»

игроков.

Дать здесь содержательный обзор работ Шепли невозможно. Об

алгоритме Гейла-Шепли, послужившим поводом для присуждения

ему (вместе с Ротом) Нобелевской премии, будет говориться в

следующей лекции.

14

(Aumann 1985)

15

https://en.wikipedia.org/wiki/Lloyd_Shapley

Дизайн механизмов

Премия 2007 года была присуждена Леониду Гурвичу, Эрику

Маскину и Роджеру Майерсону за работы по дизайну механизмов.

Это «теория игр наоборот», рассматриваемый здесь вопрос состоит

не в том, чтобы найти решение данной игры, а в том, чтобы

сконструировать игру, которая обеспечит данное решение. Вот что

говорилось по этому поводу в материале Нобелевского комитета¹⁶:

До появления дизайна механизмов микроэкономический анализ

распределения ресурсов (resource allocation) был в основном

теорией рынков. Центральным вопросом было: при каких

условиях рыночный механизм сможет распределить ресурсы

эффективно? Можно показать, что рынок полностью

эффективен при очень жестких (нереалистичных) условиях:

совершенной конкуренции, свободно доступной информации,

частном характере благ и отсутствии влияния среды на

производство и потребление. Теория дизайна механизмов

задает гораздо более общий вопрос: какой механизм

распределения ресурсов дает наилучший возможный результат?

Одна часть ответа состоит в том, что рынки, даже не полностью

эффективные, работают не хуже любых других механизмов при

гораздо менее жестких условиях. Например, двойные аукционы

– где и покупатели, и продавцы подают заявки – часто являются

непревзойденным механизмом для продажи частных благ¹⁷.

Другая часть ответа – что рынки плохо приспособлены для

предоставления общественных благ. Для этого, возможно,

придется использовать другие механизмы, скажем, введение

налога на потенциальных получателей блага.

Применение теории дизайна механизмов позволяет давать

гораздо более точные и конкретные ответы на вопросы о

сравнительных достоинствах и недостатках различных

институтов. Поэтому ее появление привело к существенному

продвижению в ряде областей экономики, включая теорию

экономического регулирования, корпоративные финансы,

теорию налогообложения и выбор процедур для голосования.

16

Nobelprize.org

17

Благо называется частным (private good), если его потребление одним

человеком исключает потребление другим (как одежда). Благо называется

общественным (public good), если это не так (как телевизионная программа).

Развитие теории дизайна механизмов началось с работ Леонида

Гурвича. Он определил механизм как игру, в которой участники

посылают сообщения друг другу и/или некоему «центру». Затем по

заранее установленному правилу для каждого данного набора

сообщений вычисляется

результат (например, происходит

распределение благ). Он также ввел понятие совместимости со

стимулами (incentive compatibility).

В 1970 годы был сформулирован и так называемый принцип

выявления (revelation principle). Он говорит, что если у данной задачи

есть какое-то решение, то есть и решение в виде так называемого

прямого механизма (direct mechanism), где все участники сообщают

«центру» достоверную информацию.

Прямой механизм не

обязательно является реалистичным, но он удобен для анализа, и уже

на его основе можно реализовать практически применимое решение.

В развитии теории реализуемости сыграли ключевую роль

результаты Майерсона и Маскина.

Рекомендуемая литература

 (Шеллинг 1960)

 (Захаров 2015)

 (Aumann 1985)